Decisiones Bajo Riesgo

Decisión Bajo Riesgo

Los procesos de decisión en ambiente de riesgo se caracterizan porque puede asociarse una probabilidad de ocurrencia a cada estado de la naturaleza, probabilidades que son conocidas o pueden ser estimadas por el decisor antes del proceso de toma de decisiones. Esta categoría incluye aquellas decisiones para las que las consecuencias de una acción dada dependen de algún evento probabilista. El proceso de decisión se describe a continuación:

ü  El problema esta definido y todas las alternativas confiables han sido consideradas. Los resultados posibles para cada alternativa son evaluados.

ü  Los resultados son discutidos de acuerdo a su reembolso monetario o de acuerdo a la ganancia neta en activos o con respecto al tiempo.

ü  Varios valores inciertos son cuantificados en términos de probabilidad.

ü  La calidad de la estrategia óptima depende de la calidad con que se juzgue. El tomador de decisiones deberá examinar e identificar la sensitividad de la estrategia optima con respecto a los factores cruciales.

        Cuando el decisor posee algún conocimiento sobre los estados de la naturaleza puede asignarle a la ocurrencia de cada estado alguna estimación subjetiva de probabilidad. En estos casos, el problema se clasifica como de toma de decisiones con riesgo. El decisor puede asignar probabilidades a la ocurrencia de los estados de la naturaleza. El proceso de toma de decisión con riesgo es el siguiente:

    a) Use la información que tenga para asignar su parecer personal (llamado probabilidades subjetivas) sobre el estado de la naturaleza, p(s);

   b) Cada curso de acción tiene asociado un determinado beneficio con cada uno de los estados de la naturaleza, X(a,s);

     c) Calculamos el beneficio esperado, también llamado riesgo o R, correspondiente a cada curso de acción como R(a) = Sumas de [X(a,s) p(s)];

   d) Aceptamos el principio que dice que deberíamos actuar para minimizar (o maximizar) el beneficio esperado;

     e) Ejecute la acción que minimice R(a).

En las decisiones bajo riesgo La información con la que se cuenta para solucionar el problema es incompleta, es decir, se conoce el problema, se conocen las posibles soluciones, pero no se conoce con certeza los resultados que pueden arrojar.

En este tipo de decisiones, las posibles alternativas de solución tienen cierta probabilidad conocida de generar un resultado. En estos casos se pueden usar modelos matemáticos o también el decisor puede hacer uso de la probabilidad objetiva o subjetiva para estimar el posible resultado.

La probabilidad objetiva es la posibilidad de que ocurra un resultado basándose en hechos concretos, puede ser cifras de años anteriores o estudios realizados para este fin. En la probabilidad subjetiva se determina el resultado basándose en opiniones y juicios personales.

Este modelo, incluye aquellas decisiones para las que las consecuencias de una acción dada dependen de algún evento probabilista.

                                            Reglas de Decisión 

Los diferentes criterios de decisión en ambiente de riesgo se basan en estadísticos asociados a la distribución de probabilidad de los resultados. Algunos de estos criterios se aplican sobre la totalidad de las alternativas, mientras que otros sólo tienen en cuenta un subconjunto de ellas, considerando las restantes peores, por lo no que están presentes en el proceso de toma de decisiones. 

Representaremos por R(a_i) los resultados asociados a la alternativa a_i, y por P(a_i) la distribución de probabilidad correspondiente a tales resultados, esto es, el conjunto de valores que representan las probabilidades de ocurrencia de los diferentes estados de la naturaleza:

     

R	xi1	xi1	. . .	xi1
P	p1	p2	. . .	pn

Los principales criterios de decisión empleados sobre tablas de decisión en ambiente de riesgo  son:

Criterio del Valor Esperado

El resultado o valor esperado para la alternativa a_i, que notaremos E[R(a_i)], viene dado por:

                                                  

Por lo que el criterio del valor esperado resulta ser:

                           

Obsérvese que esta regla de decisión es una generalización del criterio de Laplace en la que desaparece el requisito de equiprobabilidad para los diferentes estados de la naturaleza.

Ejemplo

Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el resultado esperado para cada una de las alternativas.

          

Criterio del valor esperado
	Estados de la Naturaleza
Alternativas	e1	e2	e3	e4	E[R(ai)]
a1	11	9	11	8	10.3
	8	25	8	11	11.7
a3	8	11	10	11	9.9
Probabilidades	0.2	0.2	0.5	0.1

La alternativa óptima según el criterio del valor esperado sería a₂, pues proporciona el máximo de los valores esperados. 

Criterio de Mínima  Varianza con Media Acotada

Para la utilización de este criterio se consideran exclusivamente las alternativas a cuyo valor esperado E[R(a)] sea mayor o igual que una constante K fijada por el decisor. Para cada una de las alternativas a_i que cumpla esta condición se determina la varianza V[R(a_i)] de sus resultados, 

                            

y se selecciona la que presente menor varianza, de esta forma se consigue la elección de una alternativa con poca variabilidad en sus resultados y que proporciona, por término medio, un resultado no demasiado pequeño. En resumen, el criterio de mínima varianza con media acotada es el siguiente:

                            

Ejemplo

Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el resultado esperado y su varianza para cada una de las alternativas.

Criterio de mínima varianza con media acotada
	Estados de la Naturaleza
Alternativas	e1	e2	e3	e4	E[R(ai)]	V
a1	11	9	11	8	10.3	1.21
a2	8	25	8	11	11.7	45.01
a3	8	11	10	11	9.9	1.09
Probabilidades	0.2	0.2	0.5	0.1

Si el decisor selecciona un valor 10 para la constante K, quedaría excluida del proceso de decisión la alternativa a₃, que es la que posee menor varianza. Excluida ésta, la elección óptima corresponde a la alternativa a₁, pues es la que posee menor varianza entre las que cumplen la condición E[R(a_i)]³10.

                                Criterio del Valor Esperado

El valor esperado de una acción es el retorno promedio ponderado de los múltiples resultados hipotéticos de esa acción. Implica tratar a eventos únicos como si fueran jugados muchas veces.

Se busca maximizar el beneficio esperado (o minimizar el costo esperado). Se supone que el procedimiento de decisión se repite un número suficientemente grande de veces. La esperanza implica que la misma decisión debería repetirse un número suficientemente grande de veces antes de obtener el valor neto calculado por la fórmula de esperanza.

 con cada acción, multiplique la probabilidad y el beneficio y luego sume: elija el número más grande y adopte esa acción. b) agregue el resultado por fila, c) seleccione el número más grande y tome esa acción.

	C (0,4)		CM (0,2)		SC (0,3)		B (0,1)		Valor esperado
Bonos	0,4(12)	+	0,2(8)	+	03(6)	+	0,1(3)	=	8,5*
Acciones	0,4(15)	+	0,2(7)	+	0,3(3)	+	0,1(-2)	=	8,1
Depósito	0,4(7)	+	0,2(7)	+	0,3(7)	+	0,1(7)	=	7

Los estados más probables de la naturaleza: (apropiado para decisiones no repetitivas)

a) tome el estado de la naturaleza que tiene la probabilidad más alta (rompa los empates arbitrariamente),

b) en esa columna, elija la acción que tiene el mayor beneficio,

en nuestro ejemplo numérico, el crecimiento tiene una chance del 40%, por eso debemos comprar acciones.

                      Pérdida de oportunidad esperada (poe):

a) configure una matriz de beneficios de la pérdida tomando el número más alto de las columnas correspondientes a los estados de la naturaleza (digamos, l) y réstele todos los números de esa columna, l - xij.

b) para cada acción, multiplique la probabilidad y las pérdidas, luego agréguelas a cada acción,

c) seleccione la acción con el poe más pequeño

Matriz de Beneficios de Pérdida
	C (0,4)		CM (0,2)		SC(0,3)		B (0,1)	POE
Bonos	0,4(15-12)	+	0,2(8-8)	+	0,3(7-6)	+	0,1(7-3)	1,9 *
Acciones	0,4(15-15)	+	0,2(8-7)	+	0,3(7-3)	+	0,1(7+2)	2,3
Depósito	0,4(15-7)	+	0,2(8-7)	+	0,3(7-7)	+	0,1(7-7)	3,4

         Cálculo del valor esperado de la información perfecta (veip)

el veip nos ayuda a considerar el valor que tienen las personas informadas (por ejemplo, el demonio), que son las dueñas de la información perfecta. recuerde que el veip = poe.

a) tome el beneficio máximo de cada estado de la naturaleza,

b) multiplique cada uno por la probabilidad de que ocurra ese estado de la naturaleza y luego súmelos, 

C	15(0,4)	=	6,0
CM	8(0,2)	=	1,6
SC	7(0,3)	=	2,1
B	7(0,1)	=	0,7
	+		----------
			10,4

veip = 10,4 - beneficio esperado = 10,4 – 8,5 = 1,9. verifique si la peo = veip

por lo tanto, si la información cuesta más del 1.9% de la inversión no la compre. por ejemplo, si usted va a invertir $100.000, el máximo que deberá pagar por la información que compre será de [100.000 * (1,9%)] = $1.900.

Todos los estados de la naturaleza tienen igual probabilidad. como no sé nada sobre la naturaleza, todo es igualmente probable (laplace):

a) para cada estado de la naturaleza ponga una probabilidad igual (es decir, probabilidad plana),
        

b) multiplique cada número por la probabilidad,

	C	CM	SC	B	Beneficio esperado
Bonos	0,25(12)	0,25(8)	0,25(6)	0,25(3)	7,25 *
Acciones	0,25(15)	0,25(7)	0,25(3)	0,25(-2)	5,75
Depósito	0,25(7)	0,25(7)	0,25(7)	0,25(7)	7

c) Añada filas de cursos de acción y complete la columna Beneficio Esperado,

d) Elija el número máximo en Paso c, y adopte ese curso de acción.

Árbol de Decisiones y Diagrama de Influencia

El árbol de decisiones es una representación cronológica del proceso de decisión, mediante una red que utiliza dos tipos de nodos: los nodos de decisión, representados por medio de una forma cuadrada (el nodo de elección), y los nodos de estados de la naturaleza, representados por círculos (el nodo de probabilidad).Para los nodos de probabilidad asegúrese de que las probabilidades en todas las ramas salientes sumen uno. Calcule los beneficios esperados retrocediendo en el árbol, comenzando por la derecha y trabajando hacia la izquierda.

Se puede decir entonces que el árbol de decisión es un diagrama que representan en forma secuencial condiciones y acciones; muestra qué condiciones se consideran en primer lugar, en segundo lugar y así sucesivamente. Este método permite mostrar la relación que existe entre cada condición y el grupo de acciones permisibles asociado con ella.

Un árbol de decisión sirve para modelar funciones discretas, en las que el objetivo es determinar el valor combinado de un conjunto de variables, y basándose en el valor de cada una de ellas, determinar la acción a ser tomada.

Los árboles de decisión son normalmente construidos a partir de la descripción de la narrativa de un problema. Ellos proveen una visión gráfica de la toma de decisión necesaria, especifican las variables que son evaluadas, qué acciones deben ser tomadas y el orden en la cual la toma de decisión será efectuada. Cada vez que se ejecuta un árbol de decisión, solo un camino será seguido dependiendo del valor actual de la variable evaluada.

Se recomienda el uso del árbol de decisión cuando el número de acciones es pequeño y no son posibles todas las combinaciones.

                                                   Uso de árboles decisiones

El desarrollo de árboles de decisión beneficiado analista en dos formas. Primero que todo, la necesidad de describir condiciones y acciones llevan a los analistas a identificar de manera formal las decisiones que actualmente deben tomarse. De esta forma, es difícil para ellos pasar por alto cualquier etapa del proceso de decisión, sin importar que este dependa de variables cuantitativas o cualitativas. Los árboles también obligan a los analistas a considerar la consecuencia de las decisiones.

Se ha demostrado que los árboles de decisión son eficaces cuando es necesario describir problemas con más de una dimensión o condición. También son útiles para identificar los requerimientos de datos críticos que rodean al proceso de decisión, es decir, los árboles indican los conjuntos de datos que la gerencia requiere para formular decisiones o tomar acciones. El analista debe identificar y elaborar una lista de todos los datos utilizados en el proceso de decisión, aunque el árbol de decisión no muestra todo los datos.

Si los árboles de decisión se construyen después de completar el análisis de flujo de datos, entonces es posible que los datos críticos se encuentren definidos en el diccionario de datos (el cual describe los datos utilizados por el sistema y donde se emplean). Si únicamente se usan árboles de decisiones, entonces el analista debe tener la certeza de identificar con precisión cada dato necesario para tomar la decisión.

Los árboles de decisión no siempre son la mejor herramienta para el análisis de decisiones. El árbol de decisiones de un sistema complejo con muchas secuencias de pasos y combinaciones de condiciones puede tener un tamaño considerable. El gran número de ramas que pertenecen a varias trayectorias constituye más un problema que una ayuda para el análisis. En estos casos los analistas corren el riesgo de no determinar qué políticas o estrategias de la empresa son la guía para la toma de decisiones específicas. Cuando aparecen estos problemas, entonces es momento de considerar las tablas de decisión

Usted puede imaginarse el conducir de su coche, el comenzar en el pie del árbol de la decisión y el trasladarse a la derecha a lo largo de las ramificaciones. En cada nodo cuadrado usted tiene control, puede tomar una decisión, y da vuelta a la rueda de su coche. En cada nodo del círculo la señora Fortuna asume el control la rueda, y usted es impotente.

A continuación se indica una descripción paso a paso de cómo construir un árbol de decisiones:

1) Dibuje el árbol de decisiones usando cuadrados para representar las decisiones y círculos  para representar la incertidumbre.

2) Evalúe el árbol de decisiones, para verificar que se han incluido todos los resultados posibles.

3) Calcule los valores del árbol trabajando en retroceso, del lado derecho al izquierdo.

4) Calcule los valores de los nodos de resultado incierto multiplicando el valor de los resultados por su probabilidad (es decir, los valores esperados).

Podemos calcular el valor de un nodo del árbol cuando tenemos el valor de todos los nodos que siguen. El valor de un nodo de elección es el valor más alto de todos los nodos que le siguen inmediatamente. El valor de un nodo de probabilidad es el valor esperado de los valores de los nodos que le siguen, usando la probabilidad de los arcos. Retrocediendo en el árbol, desde las ramas hacia la raíz, se puede calcular el valor de todos los nodos, incluida la raíz del árbol. Al poner estos resultados numéricos en el árbol de decisiones obtenemos como resultado el siguiente gráfico:

                                     

Como puede ser observado en el ejemplo del árbol de decisiones, la descripción de las ramas y nudos el problema de decisiones secuenciales normalmente se hace bastante complicado. En ciertas ocasiones es menos difícil dibujar el árbol de tal forma que preserve las relaciones que realmente manejan las decisiones. La necesidad por mantener la validación, y el rápido incremento en complejidad que usualmente proviene de los usos liberales de las estructuras recursivas, han provisto del proceso de decisiones para describir otros. La razón para esta complejidad es que el actual mecanismo computacional que solía analizar el árbol, esta encarnado directamente dentro de los árboles y las ramas.

Las probabilidades y valores requeridos para calcular los valores esperados de las siguientes ramas están expresamente definidos en cada nudo.

Los Diagramas de Influencia también son utilizados para el desarrollo de modelos de decisión y como una alternativa de representación grafica de árboles de decisión.

Finalmente, el árbol de decisión y el diagrama de influencia proporcionan métodos de tomas de decisiones efectivas porque ellos:

• Claramente relaja el problema, por lo tanto todas las opciones pueden ser consideradas.
• Nos permiten amplia mente analizar las posibles consecuencias de una decisión.
• Proporcionan un esquema para cuantificar los valores delos resultados y las probabilidades para lograr los mismos.
• Nos ayudan a tomar mejores decisiones basadas en la información existente, así como también hacer mejores adivinanzas.

                                     

                                                 Probabilidades Posteriores

Se puede pensar que no basta de un lanzamiento para conocer sus características como es el caso del dado cargado; en tal caso se puede conseguir mayor información lanzando nuevamente el dado. Supongamos que el mismo dado lanzado salió un as de nuevo, por lo tanto la probabilidad de que vuelva a ocurrir dicho evento variara en proporción a la cantidad de veces que este ocurrió.

Por lo tanto la probabilidad conjunta para que un evento se repita para este caso es particular es de .325, ahora bien para calcular la probabilidad de que sea el primer dado; la probabilidad que tiene el as en el primer dado sera igual a la probabilidad marginal conjunta del primero entre la suma de la probabilidad de ambos eventos es decir:

                                                  

                                                 Ejemplo

Un equipo de ligas pequeñas de béisbol a estado utilizando una maquinaria pequeña de pitcheo (automática), si la máquina es bien instalada es decir que esta ajustada automáticamente lanzara strikes el 85 % de las ocaciones; si la maquinaria no esta bien ajustada su porcentaje disminuye al 35 %; la experiencia a demostrado que solo el 75 % de las ocaciones la máquina es instalada automaticamente. Una vez que se instala la máquina para la practica de bateo de un día lanza 3 strikes en los primeros 3 lanzamientos.

¿Cúal es entonces la probabilidad de que la instalación este bien realizada?

*CORRECTA .75, STRIKES .5, 3 STRIKES (.614)(.75) = .4605
*INCORRECTA .25, STRIKES .35, 3 STRIKES (.042) (.25) = .0105

.4605 + .0105 = .4710

* .4605/.4710 = .977

* .0105/.4710 = .022

A este tipo de probabilidad se le llama PROBABILIDAD POSTERIOR en este caso de que la máquina este bien instalada y con ello aumentamos la probabilidad original de instalación del 75% al 97%.

                                             Utilidad: concepto y funciones de utilidad

Por último, dentro de esta introducción a la teoría de la decisión vamos a hablar de un concepto muy utilizado en este contexto, la utilidad. En lo que hemos visto siempre hemos supuesto que las alternativas tienen pagos cuantificables, sin embargo, no siempre es cierto. Valoraciones de tipo calidad, prestigio, etc. no son valores numéricos. Por otra parte, aunque los pagos sean numéricos el valor que nosotros damos a una cantidad, que es personal, no siempre es proporcional a ella. Obsérvese que para una persona determinada y en un contexto determinado, no es lo mismo ganar de repente un millón de euros teniendo un capital de 10 euros, que disponiendo ya de 100 millones de euros ganar ese millón. O visto de forma negativa, no es lo mismo perder un millón cuando no tienes nada, que perderlo cuando tienes 100 millones.

Para reflejar esta valoración de los pagos, no por el pago en sí, sino por el valor que tiene éste para el decisor, se utiliza la utilidad, que es una valoración personal de una cantidad que no varía proporcional al importe de esa cantidad. La utilidad se plasma en la función de utilidad que es una función que resume la importancia que esa persona asocia a diferentes cantidades. Se trata de un índice o escala personal del decisor, y por lo tanto, diferente para cada persona que lo plantee, que ha de ser no decreciente (a mayor importe, mayor ). La formalización de lo que ha de cumplir una función para poder ser una función de utilidad, se hace axiomáticamente. No hay una única forma de establecer los axiomas que ha de cumplir una función de utilidad.