Decisión Bajo Riesgo
Los
procesos de decisión en ambiente de riesgo se caracterizan porque puede
asociarse una probabilidad de ocurrencia a cada estado de la naturaleza,
probabilidades que son conocidas o pueden ser estimadas por el decisor antes
del proceso de toma de decisiones. Esta categoría incluye aquellas decisiones para las que las
consecuencias de una acción dada dependen de algún evento probabilista. El
proceso de decisión se describe a continuación:
ü El problema esta
definido y todas las alternativas confiables han sido consideradas. Los
resultados posibles para cada alternativa son evaluados.
ü Los resultados son discutidos de
acuerdo a su reembolso monetario o de acuerdo a la ganancia neta en activos o
con respecto al tiempo.
ü Varios valores inciertos son
cuantificados en términos de probabilidad.
ü La calidad de la estrategia óptima
depende de la calidad con que se juzgue. El tomador de decisiones deberá
examinar e identificar la sensitividad de la estrategia optima con respecto a
los factores cruciales.
Cuando el decisor
posee algún conocimiento sobre los estados de la naturaleza puede asignarle a
la ocurrencia de cada estado alguna estimación subjetiva de probabilidad. En
estos casos, el problema se clasifica como de toma de decisiones con riesgo. El
decisor puede asignar probabilidades a la ocurrencia de los estados de la
naturaleza. El proceso de toma de decisión con riesgo es el siguiente:
a) Use la información
que tenga para asignar su parecer personal (llamado probabilidades subjetivas)
sobre el estado de la naturaleza, p(s);
b) Cada curso de
acción tiene asociado un determinado beneficio con cada uno de los estados de
la naturaleza, X(a,s);
c) Calculamos el
beneficio esperado, también llamado riesgo o R, correspondiente a cada curso de
acción como R(a) = Sumas de [X(a,s) p(s)];
d) Aceptamos el
principio que dice que deberíamos actuar para minimizar (o maximizar) el
beneficio esperado;
e) Ejecute la acción
que minimice R(a).
En
las decisiones bajo riesgo La información con la que
se cuenta para solucionar el problema es incompleta, es decir, se conoce el
problema, se conocen las posibles soluciones, pero no se conoce con certeza los
resultados que pueden arrojar.
En este tipo de decisiones, las posibles alternativas de solución
tienen cierta probabilidad conocida de generar un resultado. En estos casos se
pueden usar modelos matemáticos o también el decisor puede hacer uso de la
probabilidad objetiva o subjetiva para estimar el posible resultado.
La probabilidad objetiva es la posibilidad de que ocurra un
resultado basándose en hechos concretos, puede ser cifras de años anteriores o
estudios realizados para este fin. En la probabilidad subjetiva se determina el
resultado basándose en opiniones y juicios personales.
Este
modelo, incluye aquellas decisiones para las que las consecuencias de una
acción dada dependen de algún evento probabilista.
Reglas de Decisión
Los
diferentes criterios de decisión en
ambiente de riesgo se basan en estadísticos asociados a la distribución
de probabilidad de los resultados. Algunos de estos criterios se aplican sobre
la totalidad de las alternativas, mientras que otros sólo tienen en cuenta un
subconjunto de ellas, considerando las restantes peores, por lo no que están
presentes en el proceso de toma de decisiones.
Representaremos
por R(ai) los
resultados asociados a la alternativa ai,
y por P(ai) la
distribución de probabilidad correspondiente a tales resultados, esto es, el
conjunto de valores que representan las probabilidades de ocurrencia de los
diferentes estados de la naturaleza:
|
R
|
xi1
|
xi1
|
. . .
|
xi1
|
|
P
|
p1
|
p2
|
. . .
|
pn
|
Los principales criterios de decisión
empleados sobre tablas de decisión en ambiente de riesgo son:
Criterio del Valor Esperado
El
resultado o valor
esperado para la alternativa ai,
que notaremos E[R(ai)],
viene dado por:
Por lo que el criterio del valor esperado resulta ser:
Obsérvese
que esta regla de decisión es una generalización del criterio de Laplace en la
que desaparece el requisito de equiprobabilidad para los diferentes estados de
la naturaleza.
Ejemplo
Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión
bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el resultado esperado
para cada una de las alternativas.
|
Criterio del valor esperado
|
|
|
Estados de la Naturaleza
|
|
|
Alternativas
|
e1
|
e2
|
e3
|
e4
|
E[R(ai)]
|
|
a1
|
11
|
9
|
11
|
8
|
10.3
|
|
|
8
|
25
|
8
|
11
|
11.7
|
|
a3
|
8
|
11
|
10
|
11
|
9.9
|
|
Probabilidades
|
0.2
|
0.2
|
0.5
|
0.1
|
|
La alternativa óptima según el
criterio del valor esperado sería a2, pues proporciona el máximo de
los valores esperados.
Criterio de Mínima Varianza con Media Acotada
Para la
utilización de este criterio se consideran exclusivamente las alternativas a cuyo valor esperado E[R(a)] sea mayor
o igual que una constante K
fijada por el decisor. Para cada una de las alternativas ai que cumpla esta
condición se determina la varianza V[R(ai)]
de sus resultados,
y se
selecciona la que presente menor varianza, de esta forma se consigue la
elección de una alternativa con poca variabilidad en sus resultados y que
proporciona, por término medio, un resultado no demasiado pequeño. En resumen,
el criterio de mínima varianza con
media acotada es el siguiente:
Ejemplo
Partiendo del ejemplo ilustrativo de decisión
bajo riesgo, la siguiente tabla muestra el resultado esperado
y su varianza para cada una de las alternativas.
|
Criterio de mínima varianza con media acotada
|
|
|
Estados de la
Naturaleza
|
|
|
Alternativas
|
e1
|
e2
|
e3
|
e4
|
E[R(ai)]
|
V
|
|
a1
|
11
|
9
|
11
|
8
|
10.3
|
1.21
|
|
a2
|
8
|
25
|
8
|
11
|
11.7
|
45.01
|
|
a3
|
8
|
11
|
10
|
11
|
9.9
|
1.09
|
|
Probabilidades
|
0.2
|
0.2
|
0.5
|
0.1
|
|
Si el
decisor selecciona un valor 10 para la constante K, quedaría excluida del
proceso de decisión la alternativa a3, que es la que posee menor
varianza. Excluida ésta, la elección óptima corresponde a la alternativa a1,
pues es la que posee menor varianza entre las que cumplen la condición E[R(ai)]³10.
Criterio del Valor Esperado
El valor
esperado de una acción es el retorno promedio ponderado de los múltiples
resultados hipotéticos de esa acción. Implica tratar a eventos únicos como si
fueran jugados muchas veces.
Se busca
maximizar el beneficio esperado (o minimizar el costo esperado). Se supone que
el procedimiento de decisión se repite un número suficientemente grande de
veces. La esperanza implica que la misma decisión debería repetirse un número
suficientemente grande de veces antes de obtener el valor neto calculado por la
fórmula de esperanza.
con
cada acción, multiplique la probabilidad y el beneficio y luego sume: elija el
número más grande y adopte esa acción. b) agregue el resultado por fila, c)
seleccione el número más grande y tome esa acción.
|
C (0,4)
|
|
CM (0,2)
|
|
SC (0,3)
|
|
B (0,1)
|
|
Valor esperado
|
|
Bonos
|
0,4(12)
|
+
|
0,2(8)
|
+
|
03(6)
|
+
|
0,1(3)
|
=
|
8,5*
|
|
Acciones
|
0,4(15)
|
+
|
0,2(7)
|
+
|
0,3(3)
|
+
|
0,1(-2)
|
=
|
8,1
|
|
Depósito
|
0,4(7)
|
+
|
0,2(7)
|
+
|
0,3(7)
|
+
|
0,1(7)
|
=
|
7
|
Los estados más probables de la
naturaleza: (apropiado para decisiones no repetitivas)
a) tome el estado de la naturaleza que tiene la
probabilidad más alta (rompa los empates arbitrariamente),
b) en esa columna, elija la acción que tiene el
mayor beneficio,
en nuestro ejemplo numérico, el crecimiento tiene
una chance del 40%, por eso debemos comprar acciones.
Pérdida de oportunidad esperada (poe):
a) configure una matriz de beneficios de la pérdida
tomando el número más alto de las columnas correspondientes a los estados de la
naturaleza (digamos, l) y réstele todos los números de esa columna, l - xij.
b) para cada acción, multiplique la probabilidad y
las pérdidas, luego agréguelas a cada acción,
c) seleccione la acción con el poe más pequeño
|
Matriz de Beneficios de Pérdida
|
|
C (0,4)
|
|
CM (0,2)
|
|
SC(0,3)
|
|
B (0,1)
|
POE
|
|
Bonos
|
0,4(15-12)
|
+
|
0,2(8-8)
|
+
|
0,3(7-6)
|
+
|
0,1(7-3)
|
1,9 *
|
|
Acciones
|
0,4(15-15)
|
+
|
0,2(8-7)
|
+
|
0,3(7-3)
|
+
|
0,1(7+2)
|
2,3
|
|
Depósito
|
0,4(15-7)
|
+
|
0,2(8-7)
|
+
|
0,3(7-7)
|
+
|
0,1(7-7)
|
3,4
|
Cálculo
del valor esperado de la información perfecta (veip)
el veip nos ayuda a considerar el valor que tienen
las personas informadas (por ejemplo, el demonio), que son las dueñas de la
información perfecta. recuerde que el veip = poe.
a) tome el beneficio máximo de cada estado de la
naturaleza,
b) multiplique cada uno por la probabilidad de que
ocurra ese estado de la naturaleza y luego súmelos,
|
C
|
15(0,4)
|
=
|
6,0
|
|
CM
|
8(0,2)
|
=
|
1,6
|
|
SC
|
7(0,3)
|
=
|
2,1
|
|
B
|
7(0,1)
|
=
|
0,7
|
|
+
|
|
----------
|
|
|
|
10,4
|
veip = 10,4 - beneficio esperado = 10,4 – 8,5 =
1,9. verifique si la peo = veip
por lo tanto, si la información cuesta más del 1.9%
de la inversión no la compre. por ejemplo, si usted va a invertir $100.000, el
máximo que deberá pagar por la información que compre será de [100.000 *
(1,9%)] = $1.900.
Todos los
estados de la naturaleza tienen igual probabilidad. como no sé nada sobre la
naturaleza, todo es igualmente probable (laplace):
a) para
cada estado de la naturaleza ponga una probabilidad igual (es decir,
probabilidad plana),
b) multiplique cada número por la probabilidad,
|
C
|
CM
|
SC
|
B
|
Beneficio esperado
|
|
Bonos
|
0,25(12)
|
0,25(8)
|
0,25(6)
|
0,25(3)
|
7,25 *
|
|
Acciones
|
0,25(15)
|
0,25(7)
|
0,25(3)
|
0,25(-2)
|
5,75
|
|
Depósito
|
0,25(7)
|
0,25(7)
|
0,25(7)
|
0,25(7)
|
7
|
c) Añada
filas de cursos de acción y complete la columna Beneficio Esperado,
d) Elija el número máximo en Paso c, y adopte ese curso de acción.
Árbol de
Decisiones y Diagrama de Influencia
El árbol
de decisiones es una representación cronológica del proceso de decisión,
mediante una red que utiliza dos tipos de nodos: los nodos de decisión,
representados por medio de una forma cuadrada (el nodo de elección), y los nodos
de estados de la naturaleza, representados por círculos (el nodo de
probabilidad).Para los nodos de probabilidad asegúrese de que las
probabilidades en todas las ramas salientes sumen uno. Calcule los beneficios
esperados retrocediendo en el árbol, comenzando por la derecha y trabajando
hacia la izquierda.
Se
puede decir entonces que el árbol de decisión
es un diagrama que representan en forma secuencial condiciones y acciones;
muestra qué condiciones se consideran en primer lugar, en segundo lugar y así
sucesivamente. Este método permite mostrar la relación que existe entre cada
condición y el grupo de acciones permisibles asociado con ella.
Un árbol de decisión sirve para modelar
funciones discretas, en las que el objetivo es determinar el valor combinado de
un conjunto de variables, y basándose en el valor de cada una de ellas,
determinar la acción a ser tomada.
Los árboles de decisión son normalmente
construidos a partir de la descripción de la narrativa de un problema. Ellos
proveen una visión gráfica de la toma de decisión necesaria, especifican las
variables que son evaluadas, qué acciones deben ser tomadas y el orden en la
cual la toma de decisión será efectuada. Cada vez que se ejecuta un árbol de
decisión, solo un camino será seguido dependiendo del valor actual de la
variable evaluada.
Se recomienda el uso del árbol de
decisión cuando el número de acciones es pequeño y no son posibles todas las
combinaciones.
Uso de árboles decisiones
El desarrollo de árboles de decisión
beneficiado analista en dos formas. Primero que todo, la necesidad de describir
condiciones y acciones llevan a los analistas a identificar de manera formal
las decisiones que actualmente deben tomarse. De esta forma, es difícil para
ellos pasar por alto cualquier etapa del proceso de decisión, sin importar que
este dependa de variables cuantitativas o cualitativas. Los árboles también
obligan a los analistas a considerar la consecuencia de las decisiones.
Se ha demostrado que los árboles de
decisión son eficaces cuando es necesario describir problemas con más de una
dimensión o condición. También son útiles para identificar los requerimientos
de datos críticos que rodean al proceso de decisión, es decir, los árboles
indican los conjuntos de datos que la gerencia requiere para formular
decisiones o tomar acciones. El analista debe identificar y elaborar una lista
de todos los datos utilizados en el proceso de decisión, aunque el árbol de
decisión no muestra todo los datos.
Si los árboles de decisión se
construyen después de completar el análisis de flujo de datos, entonces es
posible que los datos críticos se encuentren definidos en el diccionario de
datos (el cual describe los datos utilizados por el sistema y donde se
emplean). Si únicamente se usan árboles de decisiones, entonces el analista
debe tener la certeza de identificar con precisión cada dato necesario para
tomar la decisión.
Los árboles de decisión no siempre son
la mejor herramienta para el análisis de decisiones. El árbol de decisiones de
un sistema complejo con muchas secuencias de pasos y combinaciones de
condiciones puede tener un tamaño considerable. El gran número de ramas que
pertenecen a varias trayectorias constituye más un problema que una ayuda para
el análisis. En estos casos los analistas corren el riesgo de no determinar qué
políticas o estrategias de la empresa son la guía para la toma de decisiones
específicas. Cuando aparecen estos problemas, entonces es momento de considerar
las tablas de decisión
Usted
puede imaginarse el conducir de su coche, el comenzar en el pie del árbol de la
decisión y el trasladarse a la derecha a lo largo de las ramificaciones. En
cada nodo cuadrado usted
tiene control, puede tomar una decisión, y da vuelta a la rueda de su coche. En
cada nodo del círculo la señora Fortuna asume el control la
rueda, y usted es impotente.
A
continuación se indica una descripción paso a paso de cómo construir un árbol
de decisiones:
1) Dibuje el árbol de decisiones
usando cuadrados para representar las decisiones y círculos para
representar la incertidumbre.
2) Evalúe el árbol de decisiones, para
verificar que se han incluido todos los resultados posibles.
3) Calcule los valores del árbol
trabajando en retroceso, del lado derecho al izquierdo.
4) Calcule los valores de los nodos de
resultado incierto multiplicando el valor de los resultados por su
probabilidad (es decir, los valores esperados).
Podemos
calcular el valor de un nodo del árbol cuando tenemos el valor de todos los
nodos que siguen. El valor de un nodo de elección es el valor más alto de todos
los nodos que le siguen inmediatamente. El valor de un nodo de probabilidad es
el valor esperado de los valores de los nodos que le siguen, usando la
probabilidad de los arcos. Retrocediendo en el árbol, desde las ramas hacia la
raíz, se puede calcular el valor de todos los nodos, incluida la raíz del
árbol. Al poner estos resultados numéricos en el árbol de decisiones obtenemos
como resultado el siguiente gráfico:
Como
puede ser observado en el ejemplo del árbol de decisiones, la descripción de
las ramas y nudos el problema de decisiones secuenciales normalmente se hace
bastante complicado. En ciertas ocasiones es menos difícil dibujar el árbol de
tal forma que preserve las relaciones que realmente manejan las decisiones. La
necesidad por mantener la validación, y el rápido incremento en complejidad que
usualmente proviene de los usos liberales de las estructuras recursivas, han
provisto del proceso de decisiones para describir otros. La razón para esta
complejidad es que el actual mecanismo computacional que solía analizar el
árbol, esta encarnado directamente dentro de los árboles y las ramas.
Las
probabilidades y valores requeridos para calcular los valores esperados de las
siguientes ramas están expresamente definidos en cada nudo.
Los Diagramas de
Influencia también son utilizados
para el desarrollo de modelos de decisión y como una alternativa de
representación grafica de árboles de decisión.
Finalmente,
el árbol de decisión y el diagrama de influencia proporcionan métodos de tomas
de decisiones efectivas porque ellos:
- Claramente relaja el problema, por
lo tanto todas las opciones pueden ser consideradas.
- Nos permiten amplia mente analizar
las posibles consecuencias de una decisión.
- Proporcionan un esquema para
cuantificar los valores delos resultados y las probabilidades para lograr
los mismos.
- Nos ayudan a tomar mejores
decisiones basadas en la información existente, así como también hacer
mejores adivinanzas.
Probabilidades Posteriores
Se puede pensar que no basta de un
lanzamiento para conocer sus características como es el caso del dado cargado;
en tal caso se puede conseguir mayor información lanzando nuevamente el dado.
Supongamos que el mismo dado lanzado salió un as de nuevo, por lo tanto la
probabilidad de que vuelva a ocurrir dicho evento variara en proporción a la
cantidad de veces que este ocurrió.
Por lo tanto la probabilidad
conjunta para que un evento se repita para este caso es particular es de .325,
ahora bien para calcular la probabilidad de que sea el primer dado; la
probabilidad que tiene el as en el primer dado sera igual a la probabilidad
marginal conjunta del primero entre la suma de la probabilidad de ambos eventos
es decir:
Ejemplo
Un equipo de ligas pequeñas
de béisbol a estado utilizando una maquinaria pequeña de pitcheo (automática),
si la máquina es bien instalada es decir que esta ajustada automáticamente lanzara strikes el 85 % de las ocaciones; si la maquinaria no esta bien
ajustada su porcentaje disminuye al 35 %; la experiencia a demostrado que solo
el 75 % de las ocaciones la máquina es instalada automaticamente. Una vez que
se instala la máquina para la practica de bateo de un día lanza 3 strikes en
los primeros 3 lanzamientos.
¿Cúal es entonces la probabilidad de que la instalación este bien realizada?
*CORRECTA .75, STRIKES .5, 3 STRIKES (.614)(.75) = .4605
*INCORRECTA .25, STRIKES .35, 3 STRIKES (.042) (.25) = .0105
.4605 + .0105 = .4710
* .4605/.4710 = .977
* .0105/.4710 = .022
A este tipo de probabilidad
se le llama PROBABILIDAD POSTERIOR en este caso de que la máquina este bien
instalada y con ello aumentamos la probabilidad original de instalación del 75%
al 97%.
Utilidad:
concepto y funciones de utilidad
Por último, dentro de esta introducción a la teoría de la
decisión vamos a hablar de un concepto muy utilizado en este contexto, la
utilidad. En lo que hemos visto siempre hemos supuesto que las alternativas
tienen pagos cuantificables, sin embargo, no siempre es cierto. Valoraciones de
tipo calidad, prestigio, etc. no son valores numéricos. Por otra parte, aunque
los pagos sean numéricos el valor que nosotros damos a una cantidad, que es
personal, no siempre es proporcional a ella. Obsérvese que para una persona
determinada y en un contexto determinado, no es lo mismo ganar de repente un
millón de euros teniendo un capital de 10 euros, que disponiendo ya de 100
millones de euros ganar ese millón. O visto de forma negativa, no es lo mismo
perder un millón cuando no tienes nada, que perderlo cuando tienes 100
millones.
Para reflejar esta valoración de los pagos, no por el
pago en sí, sino por el valor que tiene éste para el decisor, se utiliza la utilidad,
que es una valoración personal de una cantidad que no varía proporcional al
importe de esa cantidad. La utilidad se plasma en la función de
utilidad que es una función que resume la importancia que esa persona
asocia a diferentes cantidades. Se trata de un índice o escala personal del
decisor, y por lo tanto, diferente para cada persona que lo plantee, que ha de
ser no decreciente (a mayor importe, mayor ). La formalización de lo que ha de cumplir
una función para poder ser una función de utilidad, se hace axiomáticamente. No
hay una única forma de establecer los axiomas que ha de cumplir una función de
utilidad.
